samedi 26 mars 2011

Exercices Corrigés Algèbre de boole et circuits logiques

Exercice 1 – Algèbre de Boole 

Sachant que A, B, C et D sont des variables booléennes. 

a)  En utilisant exclusivement l’algèbre booléene, démontrez que : 



 b)  En utilisant la décomposition de Shannon, démontrez que :


c)  En utilisant une technique de votre choix, démontrez que le circuit suivant a toujours sa sortie fausse :

Exercice 2 – Analyse et synthèse de circuits 
L’implantation d’une fonction logique Z relativement complexe repose sur un NOR de deux autres fonctions FX et FY comme indiqué sur le schéma suivant :

1)  La fonction FX est spécifiée par sa table de vérité :

Trouver l’expression disjonctive simplifiée de X au moyen de la table de Karnaugh.
Évaluez son coût minimal et dessinez votre meilleur circuit

2)  La fonction FY a déjà été réalisée par un apprenti. Elle fonctionne bien mais le patron prétend que le circuit coûte  trop cher pour rien. Faites l’analyse de cette fonction et proposez votre meilleur circuit en comparant les versions disjonctive et conjonctive.

c) Votre patron vous demande de porter un regard critique sur la première implantation de FY. Qu’allez-vous lui dire ?

3) Sachant que finalement, seule la valeur de Z importe, proposez votre meilleur circuit pour implanter Z(A,B,C,D)

Exercice 3 - Quine-McCluskey 
Soit la table de vérité de la fonction logique F(A,B,C,D) :

1) Retranscrire les  minterms de la fonction F sous forme binaire en soulignant les minterms facultatifs — exemple : 0110 pour




2) Procéder par la méthode Quine-McCluskey pour simplifier la fonction F(A,B,C,D) et identifier les impliquants premiers

3) Utiliser la table suivante pour identifier les impliquants essentiels de F(A,B,C,D)


4) Utilisez la méthode de Petrick simplifiée (après élimination des impliquants essentiels) pour trouver toutes les solutions (les moins chères) possibles. Écrivez chaque solution sous sa forme algébrique (disjonctive).

5) Confirmez votre résultat en utilisant une table de Karnaugh

Exercice 4 - Décodeur 
En utilisant un décodeur (3 bits de sélection A, B et C) et une seule porte logique à deux entrées par fonction, implantez les fonctions F1, F2, F3 et F4

Exercice 5 - multiplexeur 
En utilisant un multiplexeur (4 vers 1, 2 bits de sélection) et une seule porte logique, implantez la fonction suivante : 
Suggestion : utilisez la réduction sur les variables C et D
-----------------------------------------------------------------------------
 
- Correction.

Exercice 1 – Algèbre de Boole 


a)  En utilisant exclusivement l’algèbre booléene, démontrez que :  



On calcule les formes canoniques disjonctives des deux expressions : 



De même,


Après distribution et commutation, on obtient les deux mêmes expressions. 


 b) Par Shannon, sur la variable A, il vient :


 Par Shannon sur la variable B, il vient :




c)  En utilisant une technique de votre choix, démontrez que le circuit suivant a toujours sa sortie fausse :

Soit X, la sortie du XNOR(B,C), il vient, par Shannon sur la variable X :


Exercice 2 – Analyse et synthèse de circuits 


1)  Trouver l’expression disjonctive simplifiée de X au moyen de la table de Karnaugh.
Évaluez son coût minimal et dessinez votre meilleur circuit



Dessinez le circuit ci-dessous



 2)  La fonction FY a déjà été réalisée par un apprenti. Elle fonctionne bien mais le patron prétend que le circuit coûte  trop cher pour rien. Faites l’analyse de cette fonction et proposez votre meilleur circuit en comparant les versions disjonctive et conjonctive.

a) version disjonctive



b) version conjonctive



c) Votre patron vous demande de porter un regard critique sur la première implantation de FY. Qu’allez-vous lui dire ? 

C’était une bonne idée d’utiliser la forme conjonctive. Toutefois, deux erreurs ont été commises :

1)  3 impliqués alors que 2 auraient suffi
2)  L’utilisation de portes NOR aurait été moins couteuse

Conclusion, le patron avait raison, le circuit coute (2+2)+(3+2)+(3+2)+(3+2), soit 19 à la place de 9.

3) Sachant que finalement, seule la valeur de Z importe, proposez votre meilleur circuit pour implanter Z(A,B,C,D) 


Dessinez le circuit optimisé. 

 Exercice 3 - Quine-McCluskey 


1)
 
2) Procéder par la méthode Quine-McCluskey pour simplifier la fonction F(A,B,C,D) et identifier les impliquants premiers 

 
3)  Impliquants essentiels : 0X1X 

4) 

 
 
Soient 4 solutions optimales avec 3 impliquants premiers (+ l’impliquant essentiel) 


5) Confirmez votre résultat en utilisant une table de Karnaugh 


Exercice 4 - Décodeur  


 Exercice 5 - multiplexeur 
 

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