samedi 26 mars 2011

Exercices Corrigés Algèbre de boole et circuits logiques et la méthode Quine-McCluskey

Exercice 1 – Algèbre de Boole

Sachant que A, B et C sont des variables booléennes. Démontrer que :






Exercice 2 – Analyse et synthèse de circuits 

L’implémentation d’une fonction logique Z relativement complexe repose sur un XOR de deux autres fonctions X et Y comme indiqué sur le schéma suivant :


1)  En considérant que les portes XOR et XNOR à N entrées ont un coût 2N, calculer le coût des fonctions X, Y et Z telles qu’elles ont été implémentées.

Coût de  X(A, B, C, D) =
Coût de  Y(A, B, C, D) =
Coût de  Z(A, B, C, D) =

2)  Trouver l’expression disjonctive simplifiée de X au moyen de la table de Karnaugh.
Évaluer son coût minimal.

X = ____________________________________________________________________


3)  Trouver l’expression conjonctive simplifiée de Y au moyen de la table de Karnaugh.
Évaluer son coût minimal.

Y = ____________________________________________________________________



 4)  Trouver l’expression conjonctive simplifiée de Z en vous basant sur les résultats précédents.
Évaluer le coût minimal de cette implémentation.

Z = ____________________________________________________________________



5)  Dessinez le circuit optimisé.

Exercice 3 – Circuits avec mux/démux
 

Considérant le circuit suivant implémentant la fonction X : 


 1) Trouver l’expression algébrique de X sous la forme d’un produit de sommes :

2) Donner la table de Karnaugh à variable inscrite de X sans simplifier (inscrire D) :

3) Dessiner dans la zone en pointillés le circuit permettant d’obtenir X en sortie


Exercice 4 - Quine-McCluskey 

Soit la table de vérité de la fonction logique F(A,B,C,D) :


1) Retranscrire les  maxterms de la fonction F sous forme binaire en soulignant les maxterms facultatifs — exemple : 1110 pour

F(A,B,C,D) =


 2) Procéder par la méthode Quine-McCluskey pour simplifier la fonction F(A,B,C,D) et identifier les impliqués premiers


Impliqués premiers sous forme binaire :


3) Utiliser la table suivante pour identifier les impliqués essentiels de F(A,B,C,D)


Impliqués essentiels :

4) Les impliqués essentiels couvrent-ils l’ensemble des maxterms ? Si oui, donner l’expression conjonctive simplifiée de la fonction F(A,B,C,D). Autrement, suggérer une solution et donner l’expression conjonctive simplifiée de la fonction F(A,B,C,D) ainsi obtenue. 

5) Confirmer votre résultat en utilisant une table de Karnaugh


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- Correction.



Corrigé Exercice 1 – Algèbre de Boole





Exercice 2 – Analyse et synthèse de circuits  


1)  En considérant que les portes XOR et XNOR à N entrées ont un coût 2N, calculer le coût des fonctions X, Y et Z telles qu’elles ont été implémentées. 


Coût de  X(A, B, C, D) = (3+1) + (2+2) = 8
Coût de  Y(A, B, C, D) = (3+1) + (2+2) = 8
Coût de  Z(A, B, C, D) = 8 + 8 + 2ּ2 = 20
 

 2)  Trouver l’expression disjonctive simplifiée de X au moyen de la table de Karnaugh.
Évaluer son coût minimal. 


 
3)  Trouver l’expression conjonctive simplifiée de Y au moyen de la table de Karnaugh.
Évaluer son coût minimal.


 
4)  Trouver l’expression conjonctive simplifiée de Z en vous basant sur les résultats précédents. Évaluer le coût minimal de cette implémentation.


 
5)  Dessinez le circuit optimisé.
 

 Exercice 3 – Circuits avec mux/démux 
 
1) Trouver l’expression algébrique de X sous la forme d’un produit de sommes :
 

 
2) Donner la table de Karnaugh à variable inscrite de X sans simplifier (inscrire D) :


 
3) Dessiner dans la zone en pointillés le circuit permettant d’obtenir X en sortie


 Exercice 4 - Quine-McCluskey

1) Retranscrire les  maxterms de la fonction F sous forme binaire en soulignant les maxterms facultatifs :


 
2) Procéder par la méthode Quine-McCluskey pour simplifier la fonction F(A,B,C,D) et identifier les impliqués premiers


 
3) Utiliser la table suivante pour identifier les impliqués essentiels de F(A,B,C,D)



4) Les impliqués essentiels couvrent-ils l’ensemble des maxterms ? Si oui, donner l’expression conjonctive simplifiée de la fonction F(A,B,C,D). Autrement, suggérer une solution et donner l’expression conjonctive simplifiée de la fonction F(A,B,C,D) ainsi
obtenue. 

L’impliqué essentiel ne suffit pas à couvrir l’ensemble des maxterms. Nous utilisons la méthode de Petrick pour terminer.


 
5) Confirmer votre résultat en utilisant une table de Karnaugh


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